РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 654 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2013

Сложность: III

Тригонометрические уравнения

Найдите количество корней уравнения $5 синус 2x плюс 3 косинус 4x плюс 3=0$ на промежутке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. Решим уравнение:

$5 синус 2x плюс 3 косинус 4x плюс 3=0 равносильно$
$равносильно 5 синус 2x плюс 3 левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате 2x правая круглая скобка плюс 3=0 равносильно$
$равносильно 6 синус в квадрате 2x минус 5 синус 2x минус 6=0.$

Сделаем замену: $t= синус 2x, t принадлежит левая квадратная скобка минус 1;1 правая квадратная скобка .$ Тогда:

$6t в квадрате минус 5t минус 6=0 равносильно совокупность выражений t= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,t= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби . конец совокупности .$

Первый корень не удовлетворяет условию замены, следовательно,

$синус 2x= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби равносильно совокупность выражений 2x= минус арксинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,2x= Пи плюс арксинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, n принадлежит Z конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: арксинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,x= дробь: числитель: Пи плюс арксинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n, n принадлежит Z . конец совокупности .$ $синус 2x= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2x= минус арксинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,2x= Пи плюс арксинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, n принадлежит Z конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: арксинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,x= дробь: числитель: Пи плюс арксинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n, n принадлежит Z . конец совокупности .$

Отметим, что $арксинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби \approx 42 градусов$ . Рассмотрим значения x при различных значениях n:

$n= минус 1: совокупность выражений x= минус дробь: числитель: 42 градусов, знаменатель: 2 конец дроби минус 180 градусов,x= дробь: числитель: 180 градусов плюс 42 градусов, знаменатель: 2 конец дроби минус 180 градусов. конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= минус 201 градусов \notin левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка ,x= минус 69 градусов \notin левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка . конец совокупности .$

$n=0: совокупность выражений x= минус дробь: числитель: 42 градусов, знаменатель: 2 конец дроби принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка ,x= дробь: числитель: 180 градусов плюс 42 градусов, знаменатель: 2 конец дроби принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка . конец совокупности .$

$n=1: совокупность выражений x= минус дробь: числитель: 42 градусов, знаменатель: 2 конец дроби плюс 180 градусов принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка ,x= дробь: числитель: 42 градусов плюс 180 градусов, знаменатель: 2 конец дроби плюс 180 градусов принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка . конец совокупности .$ $n=$
$=1: совокупность выражений x= минус дробь: числитель: 42 градусов, знаменатель: 2 конец дроби плюс 180 градусов принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка ,x= дробь: числитель: 42 градусов плюс 180 градусов, знаменатель: 2 конец дроби плюс 180 градусов принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка . конец совокупности .$

$n=2: совокупность выражений x= минус дробь: числитель: 42 градусов, знаменатель: 2 конец дроби плюс 360 градусов принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка ,x= дробь: числитель: 42 градусов плюс 180 градусов, знаменатель: 2 конец дроби плюс 360 градусов \notin левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка . конец совокупности .$ $n=$
$=2: совокупность выражений x= минус дробь: числитель: 42 градусов, знаменатель: 2 конец дроби плюс 360 градусов принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка ,x= дробь: числитель: 42 градусов плюс 180 градусов, знаменатель: 2 конец дроби плюс 360 градусов \notin левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка . конец совокупности .$

Таким образом, на промежутке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка$ 5 корней.

Ответ: 5.

Ответ: 5

654

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2013

Сложность: III

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	654	5